Información General U.E. Colegio "Teresa Titos": Matemática 5º

U. E. COLEGIO “TERESA TITOS”

MERIDA ESTADO MERIDA

ACTIVIDAD NUMERO 3.

Docente: Lic. Jesús E. Albarrán R.

Fecha de entrega: 08-04-2014

PARA CURSANTES DE LA ASIGNATURA: MATEMÁTICA DE QUINTO AÑO

Instrucciones:

Transcribir en su cuaderno el tema indicado y realizar un análisis.
El análisis debe ser adaptado a nuestra realidad.
Entregar en físico a la fecha indicada: análisis sobre el tema REGLA DE RUFFINI. citar dos (2) ejemplos de la vida real, en tres cuartillas (hoja tamaño carta); una para el análisis y una para cada ejemplo.
La entrega de esta actividad debe ser personalmente al profesor de la asignatura.

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la

división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo, consideremos P(x)=2x³ + x² - 3x + 5 y Q(x)=x-1. La división se realiza como sigue:

1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.
Resto = 5 y C(x)=2x² + 3x por tanto 2x³ + x² - 3x + 5 =(x-1) (2x² + 3x) +5

La Regla de Ruffini establece un método para división del polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

y el resto

$s. \!$

1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos.
Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer coeficiente en el renglón inferior (a_n):

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline {} & a_n & {} & {} & {} & {} \\ {} & =b_{n-1} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

2. Se multiplica (a_n) por r y se escribe debajo de a_n-1:

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & b_{n-1}\,r & {} & {} & {} \\ \hline {} & a_n & {} & {} & {} & {} \\ {} & =b_{n-1} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & b_{n-1}\,r & {} & {} & {} \\ \hline {} & a_n & a_{n-1} + b_{n-1}\,r & {} & {} & {} \\ {} & =b_{n-1} & =b_{n-2} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

4. El proceso se repite:

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & b_{n-1}\,r & \dots & b_1\,r & b_0\,r \\ \hline {} & a_n & a_{n-1} + b_{n-1}\,r & \dots & a_1 + b_1\,r & a_0 + b_0\,r \\ {} & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \dots & =b_0 & =s \\ \end{array}$

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante $R(x) \!$ de grado uno menos que el grado de $P(x) \!$ . El residuo es $s. \!$

Ejemplo 1

División de

$P(x)=3x^3-2x^2+42X-24\,\!$

entre

$Q(x)=x+1.\,\!$

utilizando la regla de Ruffini.
1. Se escribe $Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!$ y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

$\begin{array}{c|cccc} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {} & {} & {} \\ \hline {} & 2 & {} & {} & {} \\ \end{array}$

2. Multiplicando por la raíz r(=-1):

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {-2} & {} & {} \\ \hline {} & 2 & {} & {} & {} \\ \end{array}$

3. Sumando la columna:

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {-2} & {} & {} \\ \hline {} & 2 & {1} & {} & {} \\ \end{array}$

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {-2} & {-1} & {1} \\ \hline {} & 2 & {1} & {-1} & {-3} \\ {} & \mathrm{Coef.} & {} & {} & \mathrm{Resto} \end{array}$

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

$P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!$ , donde

$R(x) = 2x^2+x-1\,\!$ y $s=-3.\,\!$

Ejemplo 2

Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:

$F(x)=x^3+x^2-x-1$

Tomamos

$G(x)=x+1$

Usamos el método, y nos queda así:

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & {} & {-1} & {0} & {1} \\ \hline {} & 1 & {0} & {-1} & {0} \\ {} & \mathrm{Coef.} & {} & {} & \mathrm{Resto} \end{array}$

Entonces F(x) se factoriza $(x^2-1)(x+1)$

Los temas son los siguientes:

jueves, 3 de abril de 2014

Matemática 5º

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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